Question

（1）已知函數f（x）=|x-2|+|x-4|的最小值為m，實數a，b，c，n，p，q
滿足a²+b²+c²=n²+p²+q²=m．
（Ⅰ）求m的值；     （Ⅱ）求證：．
（2）已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為（t為非零常數，θ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數t，使得直線l與曲線C有兩個不同的公共點A、B，且（其中O為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）（Ⅰ）解法一，利用絕對值的幾何意義，化簡函數，即可求m的值；
解法二：利用絕對值的性質，可得結論；
（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明；
（2）（Ⅰ）消去參數θ，可得普通方程；
（Ⅱ）直線與切線方程聯立，利用韋達定理，結合向量知識，可求實數t的值．
解答：（1）（Ⅰ）解法一：，可得函數的最小值為2．故m=2．
法二：f（x）=|x-2|+|x-4|≥|（x-2）-（x-4）|=2，
當且僅當2≤x≤4時，等號成立，故m=2．
（Ⅱ）證明：∵
∴（n²+p²+q²）²=4，故．
（2）解：（Ⅰ）∵t≠0，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．…1分
①當t=±1時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓；  …2分
②當t≠±1時，曲線C為中心在原點的橢圓．…3分
（Ⅱ）直線l的普通方程為：x-y+4=0．…4分
聯立直線與曲線的方程，消y得，化簡得（1+t²）x²+8t²x+12t²=0．
若直線l與曲線C有兩個不同的公共點，則△=64t⁴-4（1+t²）•12t²＞0，解得t²＞3．
又，…6分
故=2x₁x₂+4（x₁+x₂）+16=10．
解得t²=3與t²＞3相矛盾．故不存在滿足題意的實數t．…7分．
點評：本題考查柯西不等式的運用，考查直線與曲線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．