Question

（本題滿分12分）
已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點(n，)在直線y＝x＋上．數列{b_n}滿足b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)，b₃＝11，且其前9項和為153.
(1)求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
(2)設c_n＝，數列{c_n}的前n項和為T_n，求使不等式T_n＞對一切n∈N^*都成立的最大正整數k的值．

Answer 1

解：(1)由已知得＝n＋，∴S_n＝n²＋n.
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋n－(n－1)²－(n－1)＝n＋5；
當n＝1時，a₁＝S₁＝6也符合上式．∴a_n＝n＋5.
由b_n＋2－2b_n＋1＋b_n＝0(n∈N^*)知{b_n}是等差數列，
由{b_n}的前9項和為153，可得＝9b₅＝153，
得b₅＝17，又b₃＝11，∴{b_n}的公差d＝＝3，b₃＝b₁＋2d，
∴b₁＝5，∴b_n＝3n＋2.
(2)c_n＝＝(－)，
∴T_n＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)．∵n增大，T_n增大，∴{T_n}是遞增數列．∴T_n≥T₁＝.
T_n＞對一切n∈N^*都成立，只要T₁＝＞，
∴k＜19，則k_max＝18.

略