Question

 （本小題滿分13分）如圖所示，已知以點為圓心的圓與直線相切.過點的動直線與圓相交于，兩點，是的中點，直線與相交于點.

（1）求圓的方程;

（2）當時，求直線的方程.

（3）是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) .（2）或.

（3）是定值，且.

【解析】(I)由點到直線的距離公式求出半徑，然后可寫出圓A的標準方程.

（2）討論直線l斜率存在與不存在兩種情況，當斜率存在時，可設直線的方程為,然后利用,

可建立關于k的方程，求出k值.

(3)根據向量垂直的充要條件可知即=.然后再利用向量的坐標表示，證明是定值.再證明時要注意對直線斜率k分存在與不存在兩種情況討論.

解：(1)設圓的半徑為.圓與直線相切,

.

圓的方程為. ……………………………4分

（2）當直線與軸垂直時，易知符合題意；…………………5分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，

.

由，得.

直線的方程為.

所求直線的方程為或.………………………9分

（3）.

=.

當直線與軸垂直時，得，則又,

.

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

由解得.

.

.

綜上所述，是定值，且.…………………13分