Question

在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發沿縱、橫方向到達點N的任一路徑成為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”．某地有三個新建的居民區，分別位于平面xOy內三點A(3，20)，B(－10，0)，C(14，0)處．現計劃在x軸上方區域(包含x軸)內的某一點P處修建一個文化中心．

(Ⅰ)寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式(不要求證明)；

(Ⅱ)若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，“L路徑”不能進入保護區，請確定點P的位置，使其到三個居民區的“L路徑”長度值和最小．

Answer 1

答案：
解析：

　　答案：(Ⅰ)d＝|x－3|＋|y－20|，y≥0，x∈R．

　　(Ⅱ)當點P(x，y)滿足P(3，1)時，其到三個居民區的“L路徑”長度值和最小為45

　　解析：

　　(Ⅰ)，

　　，其中

　　(Ⅱ)本問考查分析解決應用問題的能力，以及絕對值的基本知識．

　　點P到A，B，C三點的“L路徑”長度之和的最小值d＝水平距離之和的最小值h＋垂直距離之和的最小值v．且h和v互不影響．顯然當y＝1時，v＝20＋1＝21；，水平距離之和h＝x－(－10)＋14－x＋|x－3|≥24，且當x＝3時，h＝24．因此，當P(3，1)時，d＝21＋24＝45．

　　所以，當點P(x，y)滿足P(3，1)時，點P到A，B，C三點的“L路徑”長度之和d的最小值為45．