Question

定義在[-1，1]上的奇函數f（x），當-1≤x＜0時，f(x)=-

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（Ⅱ）判斷f（x）在（0，1）上的單調性，并給予證明；
（Ⅲ）當x∈（0，1]時，關于x的方程

2x

f(x)

-2x+λ=0有解，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，f（0）=0，設 x∈（0，1]，可得，-x∈[-1，0），結合已知函數解析式及f（x）=-f（-x）即可求解；
（Ⅱ）先設任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，然后利用作差法比較f（x₁），f（x₂）的大小即可判斷
（Ⅲ）利用換元法，設t=2^x，則t∈（1，2]，然后結合二次函數在閉區間上的最值求解即可

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，
∴當x=0時，f（x）=0，…（1分）
當 x∈（0，1]時，-x∈[-1，0），
所以f(x)=-f(-x)=

2x

1+4x

，…（4分）
綜上：f(x)=

2x 1+4x ，x∈(0，1] 0，       x=0 - 2x 1+4x ，x∈[-1，0).

．…（5分）
（Ⅱ）證明：任意x₁、x₂（0，1]，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(1+4x1)(1+4x2)

由x₁＜x₂，故2x1＜2x2，又1-2x1+x2＜0，(1+4x1)(1+4x2)，
所以f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，1）上單調遞減．…（9分）
（Ⅲ）λ=2^x-1-4^x，
設t=2^x，則t∈（1，2]，
故λ=-t2+t-1=-(t-

1

2

)2-

3

4

∈[-3，-1)．…（14分）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性在函數解析式求解中的應用，函數的單調性的判斷與證明及二次函數閉區間上的最值求解等綜合應用．