Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+2ⁿ+1（n∈N^*）
（1）求證：數列{a_n-2ⁿ}為等差數列；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1-n），若…對一切n∈N^*且n≥2恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對關系式a_n+1=a_n+2ⁿ+1整理可得到）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1，即數列{a_n-2ⁿ}為等差數列，
（2）根據（1）可求出數列{a_n-2ⁿ}的通項公式，即可得到數列{a_n}的通項公式，根據b_n=log₂（a_n+1-n），可得到b_n的表達式，設f（n）=…（1+）×，分析可得f（n）的最小值，結合題意即可得答案．
解答：解：（1）（a_n+1-2ⁿ⁺¹）-（a_n-2ⁿ）=a_n+1-a_n-2ⁿ=1
故數列{a_n-2ⁿ}為等差數列，且公差d=1．
a_n-2ⁿ=（a₁-2）+（n-1）d=n-1，a_n=2ⁿ+n-1；
（2）由（1）可知a_n=2ⁿ+n-1，∴b_n=log₂（a_n+1-n）=n
設f（n）=…（1+）×，（n≥2）
則f（n+1）=…（1+）×（1+）×，
兩式相除可得=（1+）×=＞1，
則有f（n）＞f（n-1）＞f（n-2）＞…＞f（2）=，
要使…對一切n∈N^*且n≥2恒成立，
必有k＜；
故k的取值范圍是k＜．
點評：本小題主要考查數列、數學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數學視野．