Question

首項為正數的數列{}滿足。

(Ⅰ)證明：若 為奇數，則對一切 ， 都是奇數；

(Ⅱ)若對一切，都有，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）或。

解析:

（I）證明：已知是奇數，假設是奇數，其中為正整數，

則由遞推關系得是奇數。

根據數學歸納法，對任何，都是奇數。

（II）（方法一）由知，當且僅當或。

另一方面，若則；若，則

根據數學歸納法，

綜合所述，對一切都有的充要條件是或。

（方法二）由得于是或。

因為所以所有的均大于0，因此與同號。

根據數學歸納法，，與同號。

因此，對一切都有的充要條件是或。