Question

已知△ABC中，A，B，C成等差數列，向量

n

=(0，-1)，向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，求：|

n

+

p

|的取值范圍．

Answer 1

分析：由A，B，C成等差數列，利用等差數列的性質列出關系式，再根據三角形的內角和定理可得出B的度數，進而得出A+C的度數，用A表示出C，由兩向量的坐標表示出兩向量和的坐標，利用向量模的計算法則表示出|

n

+

p

|²，利用二倍角的余弦函數公式化簡后，將表示出的C代入，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，由A的范圍，得到這個角的范圍，根據余弦函數的圖象與性質得出此時余弦函數的值域，即為|

n

+

p

|²的范圍，開方即可得到|

n

+

p

|的取值范圍．

解答：解：∵A，B，C成等差數列，
∴2B=A+C，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

，且0＜A＜

2π

3

，C=

2π

3

-A，
又向量

n

=(0，-1)，向量

p

=(cosA，2cos2

C

2

)，
∴

n

+

p

=（cosA，2cos2

C

2

-1）=（cosA，cosC），
∵|

n

+

p

|²=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

（cos2A+cos2C）
=1+

1

2

[cos2A+cos2（

2π

3

-A）]
=1+

1

2

[cos2A+cos（

4π

3

-2A）]
=1+

1

2

（cos2A-

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）
=1+

1

2

（

1

2

cos2A-

3

2

sin2A）
=1+

1

2

cos（2A+

π

3

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴-1≤cos（2A+

π

3

）＜

1

2

，
∴

1

2

≤1+

1

2

cos（2A+

π

3

）＜

5

4

，
則

2

2

≤|

n

+

p

|＜

5

2

．

點評：此題考查了等差數列的性質，向量模的計算，平面向量坐標表示的應用，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的余弦函數公式，以及余弦函數的定義域與值域，熟練運用等差數列的性質求出B的度數是本題的突破點．