Question

已知、是橢圓的左、右焦點，且離心率，點為橢圓上的一個動點，的內切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 若是橢圓上不重合的四個點，滿足向量與共線，與共
線，且，求的取值范圍.

Answer 1

(1);(2)

試題分析：本小題主要通過對直線與圓錐曲線中橢圓的綜合應用的考查，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關知識與圓錐曲線的綜合知識，提示考生對圓錐曲線的綜合題加以重視，本題主要考查考生的推理論證能力，運算求解能力、化歸與轉化以及數形結合的數學思想.（1）利用方程思想和幾何性質，得到含有的兩個等量關系，進而利用待定系數法求解橢圓方程；（2）通過直線與方程聯立，借助韋達定理和弦長公式將進行表示為含有的函數關系式，利用換元法和二次函數求值域的思路尋求范圍.
試題解析：(1)由幾何性質可知：當內切圓面積取最大值時，
即取最大值，且.
由得
又為定值，，
綜上得；
又由，可得，即，
經計算得，，，
故橢圓方程為.                                                (5分)
(2) ①當直線與中有一條直線垂直于軸時，.
②當直線斜率存在但不為0時，設的方程為：，由消去
可得，代入弦長公式得： ，
同理由消去可得，
代入弦長公式得：，
所以
令，則，所以，
由①②可知，的取值范圍是.                     (12分)