Question

已知A（-2，0），B（2，0），動點P滿足∠APB=θ，且|PA|•|PB|cos2

θ

2

=4．
（1）求動點P的軌跡C；
（2）設過M（0，1）的直線l（斜率存在）交P點軌跡C于P、Q兩點，B₁、B₂是軌跡C與y軸的兩個交點，直線B₁P與B₂Q交于點S，試問：當l轉動時，點S是否在一條定直線上？若是，請寫出這直線的方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據余弦定理求出|PA|+|PB|的值，驗證軌跡C為橢圓方程，從而得到答案．
（2）先假設出直線l的方程，然后與（1）所求的橢圓方程聯立消去y求出兩根之和與兩根之積，再表示出B₁P、B₂Q的關系式二者聯立消去x得到y的關系式，最后將求出的兩根之和與兩根之積代入即可得到答案．

解答：解：（1）由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cosθ
即16=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|(2cos2

θ

2

-1)=(|PA|+|PB|)2-16
∴|PA|+|PB|=4

2

＞|AB|
∴動點P的軌跡C是以A、B為焦點，長軸長為4

2

的橢圓，方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（2）設l為y=kx+1，則與

x2

8

+

y2

4

=1聯立得（1+2k²）x²+4kx-6=0
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x1+x2=

-8k

1+2k2

x1x2=

-6

1+2k2

B1P：y+2=

y1+2

x1

xB2Q：y-2=

y2-2

x2

x
聯立得

x1

y1+2

(y+2)=

x2

y2-2

(y-2)
即y=2

x2(y1+2)+x1(y2-2)

x2(y1+2)-x1(y2-2)

=2

x2(kx1+3)+x1(kx2-1)

x2(kx1+3)-x1(kx2-1)

=2

2kx1x2+3x2-x1

3x2+x1

=2

-12k 1+2k2 +3(- 4k 1+2k2 -x1)-x1

3(- 4k 1+2k2 -x1)+x1

=4
這說明當l轉動時，點S恒在定直線y=4上

點評：本題主要考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的綜合問題．一般是直線與圓錐曲線的方程聯立消去y，得到兩根之和與兩根之積的關系式，再結合題中所給條件解題．