Question

已知E（2，2）是拋物線C：y²=2px上一點，經過點（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線EA，EB分別交直線x=-2于點M，N．
（Ⅰ）求拋物線方程及其焦點坐標；
（Ⅱ）已知O為原點，求證：∠MON為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將E（2，2）代入y²=2px，得p=1，由此能求出拋物線方程和焦點坐標．
（Ⅱ）設A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），設直線l方程為y=k（x-2），與拋物線方程聯立得到ky²-2y-4k=0，由韋達定理，得y₁y₂=-4，y1+y2=

2

k

，由此能夠推導出∠MON為定值．

解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解：將E（2，2）代入y²=2px，得p=1，
所以拋物線方程為y²=2x，焦點坐標為（

1

2

，0）．…（3分）
（Ⅱ）證明：設A（

y12

2

，y₁），B（

y22

2

，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因為直線l不經過點E，所以直線l一定有斜率
設直線l方程為y=k（x-2），
與拋物線方程聯立得到

y=k(x-2) y2=2x

，消去x，得：
ky²-2y-4k=0，
則由韋達定理得：
y₁y₂=-4，y1+y2=

2

k

，…（6分）
直線AE的方程為：y-2=

y1-2

y12 2 -2

(x-2)，
即y=

2

y1+2

(x-2)+2，
令x=-2，得y_M=

2y1-4

y1+2

，…（9分）
同理可得：yN=

2y2-4

y2+2

，…（10分）
又∵

OM

=(-2，yM)，

ON

=(-2，yN)，
所以

OM

•

ON

=4+y_My_N=4+

2y1-4

y1+2

•

2y2-4

y2+2

=4+

4[y1y2-2(y1+y2)+4]

[y1y2+2(y1+y2)+4]

=4+

4(-4- 4 k +4)

4(-4+ 4 k +4)

=0…（13分）
所以OM⊥ON，即∠MON為定值

π

2

…（14分）．

點評：本題考查拋物線方程及其焦點坐標的求法，考查角為定值的證明，解題時要認真審題，注意拋物線的簡單性質，直線與拋物線的位置關系、韋達定理等知識點的合理運用．