Question

在數(shù)列中，，且前項的算術(shù)平均數(shù)等于第項的倍（）。
（1）寫出此數(shù)列的前5項；      （2）歸納猜想的通項公式，并加以證明。

Answer 1

（1）數(shù)列的前5項是：，．（2）見解析.

(1)本小題根據(jù)題意可得，分別令n=2,3,4,5不難求解。
(2)由(1)中的前5項，不難歸納出,然后再采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。
要分兩個步驟來進(jìn)行：第一步驗證：當(dāng)n=1時，式子成立；
第二步：先假設(shè)n=k時，等式成立，再證明n=k+1時，等式也成立，在證明過程中必須要用上歸納假設(shè)。
（1）由已知，，分別取，
得，，
，
，
所以數(shù)列的前5項是：，．-----------4分
（2）由（1）中的分析可以猜想．————————————6分
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)時，公式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)時成立，即，那么由已知，
得，
即，
所以，即，
又由歸納假設(shè)，得，
所以，即當(dāng)時，公式也成立．—————————10分
由①和②知，對一切，都有成立．------------------12分