Question

已知函數g（x）=x²-3（x∈R），f(x)=

g(x)+x+7 g(x)-x

2x＜g(x) 2x≥g(x)

，則y=f（x）-c有兩個零點，則c的取值范圍是（　�。�

Answer 1

分析：由題意可得 f(x)=

x 2 +x+4  ， x＜-1 或x＞3 x2 -x -3 ，  -1≤x≤3

，函數y=f（x）與直線y=c有2個交點，數形結合求得c的取值范圍．

解答：解：由2x＜g（x）可得 x＜-1，或 x＞3． 由2x≥g（x）可得-1≤x≤3．
∴f(x)=

g(x)+x+7  ， x＜-1 或x＞3 g(x)-x ，  -1≤x≤3

，即 f(x)=

x 2 +x+4  ， x＜-1 或x＞3 x2 -x -3 ，  -1≤x≤3

．
由y=f（x）-c有兩個零點，可得函數y=f（x）與直線y=c有2個交點，如圖所示：
其中，A（-1，4）、B（3，16）、C（-

1

2

，

15

4

）、M（-1，-1）、N（

1

2

，-

13

4

）、P（3，3）．
故當-

13

4

＜c≤1，或 c＞16時，y=f（x）與直線y=c有2個交點，
故c的取值范圍是（-

13

4

，-1]∪（16，+∞），
故選 D．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于基礎題．