Question

對于函數，若存在x₀∈R，使f(x₀)＝x₀成立，則稱x₀為f(x)的不動點．如果函數f(x)＝有且僅有兩個不動點0和2．
(Ⅰ)試求b、c滿足的關系式；
(Ⅱ)若c＝2時，各項不為零的數列{a_n}滿足4S_n·f()＝1，
求證：＜＜；
(Ⅲ)設b_n＝－，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．

Answer 1

同解析

(Ⅰ)設
∴ ………………………………2分
(Ⅱ)∵c＝2   ∴b＝2    ∴，
由已知可得2S_n＝a_n－a_n²且a_n≠1．……①，
當n≥2時，2 S_{n -1}＝a_n－1－a_n－1² ……②，
①－②得(a_n＋a_n－1)( a_n－a_n－1＋1)＝0，∴a_n＝－a_n－1  或 a_n＝－a_n－1 ＝－1，
當n＝1時，2a₁＝a₁－a₁²a₁＝－1，
若a_n＝－a_n－1，則a₂＝1與a_n≠1矛盾．∴a_n－a_n－1＝－1， ∴a_n＝－n．………………4分
∴要證待證不等式，只要證 ，
即證 ，
只要證 ，即證 ．
考慮證不等式(x＞0) **．……………………………………………6分
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－  (x＞0) ．
∴g '(x)＝， h '(x)＝，
∵x＞0，  ∴g '(x)＞0，  h '(x)＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函數，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0時，．
令則**式成立，∴＜＜，……………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知b_n＝，則T_n＝．
在中，令n＝1，2，3，……，2008，并將各式相加，
得，
即T₂₀₀₉－1＜ln2009＜T₂₀₀₈．…………………………………………………………………12分