Question

已知f(x)=ex-

1

2

(1+a)x2．
（1）求f（x）在x=0處的切線方程；
（2）若f（x）在區間x∈（0，2]為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數，把x=0代入到導函數中求出切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）由f（x）在x∈（0，2]為增函數得到導函數在區間x∈（0，2]上恒大于等于0，即a+1＜

ex

x

在0＜x≤2上恒成立，可設g（x）=

ex

x

，求出其導函數=0時x的值，討論導函數的正負得到g（x）的最小值，讓a+1小于g（x）的最小值即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=e^x-（1+a）x，把x=0代入得到切線的斜率k=f′（0）=1，
然后求出f（0）=1，
所以切線方程為：y-1=1×（x-0）即y=x+1；
（2）f′（x）=e^x-（1+a）x≥0在區間x∈（0，2]上恒成立
即(a+1)＜

ex

x

在0＜x≤2上恒成立．
令g(x)=

ex

x

，g′(x)=

(x-1)ex

x2

當x=1時g(x)=

ex

x

有最小值e
所以a＜e-1．

點評：考查學生會利用導數研究曲線上某點的切線方程，會利用導數求閉區間上函數的最值，掌握不等式恒成立時所取的條件．