Question

（2010•成都模擬）已知函數f（x）的定義域為R，且f（x）不為常函數，有以下命題：
①函數g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則f（x）是以2為周期的周期函數；
③若f（x）是奇函數，且對任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，則f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④對任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，則f（x）為（-∞，+∞）上的增函數．
其中正確命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①根據偶函數定義可得g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①可判斷；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，可得f（x+2）=-f（-x），故②錯誤；
③由對任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，可知f（2+x）=-f（x），根據f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x），從而可判斷f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④利用函數單調性的定義，結合

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函數f（x）為（-∞，+∞）上的增函數．

解答：解：①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）
∴函數g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數，故①正確；
②若對任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x），∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2為周期的周期函數，故②錯誤；
③∵對任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）
∵f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f（-x）
∴f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
④設任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）為（-∞，+∞）上的增函數．

點評：本題以函數為載體，主要考查函數的奇偶性，周期性，對稱性及函數的單調性，解題時應一一判斷．