Question

在實數集R中定義一種運算“*”，具有性質：
①對任意a，b∈R，a*b=b*a；②對任意a∈R，a*1=a；
③對任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，
則函數f （x）=x*

1

x

（x＞0）的最小值為

1

．

Answer 1

分析：根據題目給出的新定義，寫出函數f(x)=x*

1

x

的解析式，然后運用基本不等式求最值．

解答：解：根據定義的運算性質得：
f(x)=x*

1

x

=(x*

1

x

)*1=1*(x•

1

x

)+(x*1)+(

1

x

*1)-2×1=x+

1

x

-1
因為x＞0，由均值不等式得f（x）=x+

1

x

-1≥2

x• 1 x

-1=1（當且僅當x=1時取“=”），
即f（x）的最小值為1．
故答案為1．

點評：本題考查了函數值域的求法，考查了利用基本不等式求函數最值的方法，解答此題的關鍵是能夠根據題目所給的新定義，正確寫出熟悉的函數表達式．