Question

（1）已知矩陣A=

3 3 2 4

，向量β=

6 8

，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對應的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A²α=β．
（2）在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知點A、B的極坐標分別為（1，0）、(1，

π

2

)，曲線C的參數方程為

x=rcosα y=rsinα

(α為參數，r＞0）
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線AB和曲線C只有一個交點，求r的值．
（3）設不等式|x-2|＞1的解集與關于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f(x)=a

x-3

+b

5-x

的最大值，以及取得最大值時x的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）矩陣M的特征多項式為f（λ）=

.

λ-3 -3 -2 λ-4

.

=λ²-7λ+6，令f（λ）=0，能求出矩陣M的特征值和特征向量．
（Ⅱ）由矩陣A=

3 3 2 4

，知A²=

15 21 14 22

，設向量α=

x y

，由向量β=

6 8

，A²α=β，能求出向量α．
（2）（Ⅰ）由點A、B的極坐標分別為（1，0）、(1，

π

2

)，求出A，B的普通方程，由此能直線AB的直角坐標方程．
（Ⅱ）由曲線C的參數方程為

x=rcosα y=rsinα

(α為參數，r＞0），知曲線C的普通方程為x²+y²=r²．再由直線AB和曲線C只有一個交點，能求出r．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，不等式x2-ax+b＞0的解集為{x|x＞3 或x＜1 }．由此能求出a和b．
（Ⅱ）由a=4，b=3，知f（x）=4

x-3

+3

5-x

，3≤x≤5．由（4

x-3

+3

5-x

）²=7x-3+24

-(x-4)2+1

，由此能求出f（x）的最大值為和此時x值．

解答：解：（1）（Ⅰ）矩陣M的特征多項式為f（λ）=

.

λ-3 -3 -2 λ-4

.

=λ²-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為1和6．
當λ=1時，聯立

-2x-3y=0 -2x-3y=0

，解得2x+3y=0
所以矩陣M的屬于特征值1的一個特征向量為

2 -3

．
當λ=6時，聯立

3x-3y=0 -2x+2y=0

，解得x=y
所以矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量

1 1

．
（Ⅱ）∵矩陣A=

3 3 2 4

，∴A2=

3 3 2 4

3 3 2 4

=

15 21 14 22

，
設向量α=

x y

，∵A=

3 3 2 4

，向量β=

6 8

，A²α=β，
∴

15x+21y=6 14x+22y=8

，解得x=-1，y=1，
∴向量α=

-1 1

．
（2）（Ⅰ）∵點A、B的極坐標分別為（1，0）、(1，

π

2

)，
∴點A，B的普通坐標為（1，0），（0，1），
∴直線AB的直角坐標方程為x+y-1=0．
（Ⅱ）∵曲線C的參數方程為

x=rcosα y=rsinα

(α為參數，r＞0），
∴曲線C的普通方程為x²+y²=r²．
∵直線AB和曲線C只有一個交點，
∴圓心（0，0）到直線AB的距離d=

|0+0-1|

2

=r，解得r=

2

2

．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，得x＞3 或x＜1，
故不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞3 或x＜1 }，
由題設知不等式x2-ax+b＞0的解集為{x|x＞3 或x＜1 }．
∴3+1=a，3×1=b
解得a=4，b=3．
（Ⅱ）∵a=4，b=3，
∴f（x）=4

x-3

+3

5-x

，3≤x≤5．
由（4

x-3

+3

5-x

）²=16x-48+45-9x+24

(x-3)(5-x)

=7x-3+24

(x-3)(5-x)

=7x-3+24

-x2+8x-15

=7x-3+24

-(x-4)2+1

≤28-3+24=49，當且僅當x=4時取最大值．
∴f（x）的最大值為7，此時x=4．

點評：（1）考查矩陣的特征值和特征向量的求法；（2）考查極坐標與參數方程的應用；（3）考查不等式的解法及其應用．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．