Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若稱使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數的數n為劣數，則在區間（1，2010）內所有劣數的和為（　　）

A．2026

B．2046

C．1024

D．1022

Answer 1

分析：由題意，及對數的換底公式知，a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2），由此知，劣數+2必為2的整數次冪，由此易得出劣數表達式，此區間（1，2010）內所有劣數的和是一個數列求和問題，由此計算出值選出正確答案

解答：解：由題意a_n=log_（n+1）（n+2），（n∈N^*），若稱使乘積a₁•a₂•a₃…a_n為整數的數n為劣數且a₁•a₂•a₃…a_n=log₂（n+2）
故劣數n=2^k-2，故最小的劣數為2=2²-2，令n=2^k-2＜2010，
由于2¹⁰-2=1022，2¹¹-2=2046
故最大的劣數為2¹⁰-2
∴（1，2010）內所有劣數的和為2²-2+2³-2+2⁴-2+…+2¹⁰-2=

22×(1-29)

1-2

-18=2¹¹-22=2026
故選A

點評：本題考查數列的求和，正確理解劣數定義，找出區間（1，2010）內所有劣數，以及熟練掌握數列求和的技巧分組求和是求解本題的關鍵，本題中難點是理解劣數的定義，由此定義得出劣數的結構，將求和的問題轉化為數列求和的問題．