Question

已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其單調性（無需證明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范圍．
（3）設h^-1（x）是h（x）=log₂x的反函數，若存在唯一的x使

1-h-1(x)

1+h-1(x)

=m-2x成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令f（x）+g（x）=2log₂（1-x）中的x用-x替代，根據函數的奇偶性進行化簡，兩式相加相減可求出f（x）及g（x）的解析式，根據復合函數的單調性可得其單調性；
（2）由（1）得到的f（x）的解析式，代入不等式f（x）＜0，利用對數的性質解不等式即可；
（3）先根據反函數的求法求出h^-1（x），代入

1-h-1(x)

1+h-1(x)

=m-2x，令t=2^x＞0，原等式可化為t²-mt+1-m=0，只需此方程在（0，+∞）有唯一解，從而求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
又f（x）+g（x）=2log₂（1-x），①
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x），即-f（x）+g（x）=2log₂（1+x），②
由①②可得g(x)=log2(1+x)+log2(1-x)=log2(1-x2)x∈（-1，1），
f(x)=log2(1-x)-log2(1+x)=log2

1-x

1+x

x∈（-1，1），
其中，g（x）在（-1，0）上遞增，在（0，1）上遞減．f（x）在（-1，1）上是減函數．
（2）由 f(x)=log2

1-x

1+x

＜0，知0＜

1-x

1+x

＜1，
∴

-1＜x＜1 1-x＜1+x

故0＜x＜1，
∴x取值范圍為0＜x＜1；
（3）由y=log2

1-x

1+x

，得2y=

1-x

1+x

，解得x=

1-2y

1+2y

，
∴f-1(x)=

1-2x

1+2x

，
故f^-1（x）=m-2^x即為m-2x=

1-2x

1+2x

（*），
令t=2^x＞0  （*）可化為t²-mt+1-m=0，由題意此方程在（0，+∞）有唯一解，
令h（t）=t²-mt+1-m
（1）h（0）=1-m＜0，得m＞1，
（2）

h(0)=1-m=0 m 2 ＞0

解得m=1，
（3）

△=m2-4(1-m)=0 m 2 ＞0

解得m=2

2

-2，
綜上，m≥1或m=2

2

-2．

點評：本題考查了求函數的解析式，函數單調性的判斷與證明．求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等．函數單調性的證明一般選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．屬于中檔題．