Question

已知定義域為R的奇函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，且f（-1）=0，則滿足xf（x）≤0的x的取值的范圍為

[-1，1]

．

Answer 1

分析：根據函數f（x）為奇函數且在（-∞，0）上為增函數，可得f（x）在（0，+∞）上也是增函數．由此作出草圖加以理解，建立關于x的不等式組并加以分類討論，即可得出滿足條件的實數x的取值的范圍．

解答：解：∵奇函數f（x）在（-∞，0）上是增函數，
∴f（x）在（0，+∞）上也是增函數
∵f（-1）=0，∴f（1）=-f（-1）=0
作出函數的示意圖，如圖所示

不等式xf（x）≤0，即

x≥0 f(x)≤0

或

x≥0 f(x)≥0

當x≥0時，不等式f（x）≤0成立，即f（x）≤f（1），結合單調性可得0≤x≤1；
當x＜0時，不等式f（x）≥0成立，即f（x）≥f（-1），結合單調性可得-1≤x＜0．
綜上所述，可得滿足xf（x）≤0的x的取值的范圍為[-1，1]
故答案為：[-1，1]

點評：本題給出奇函數滿足的條件，求解關于x的不等式，著重考查了函數的奇偶性、單調性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．