Question

已知數列{an}滿足a1＋a2＋…＋an＝n2(n∈N*)．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)對任意給定的k∈N*，是否存在p，r∈N*(k<p<r)使，，成等差數列？若存在，用k分別表示p和r(只要寫出一組)；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）an＝2n－1(n∈N*)．（2）當k＝1時，不存在p，r；當k≥2時，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2滿足題設．

【解析】(1)當n＝1時，a1＝1；當n≥2，n∈N*時，a1＋a2＋…＋an－1＝(n－1)2，所以an＝n2－(n－1)2＝2n－1；綜上所述，an＝2n－1(n∈N*)．

(2)當k＝1時，若存在p，r使，，成等差數列，則＝－＝.因為p≥2，所以ar<0與數列{an}為正數相矛盾，因此，當k＝1時不存在；

當k≥2時，設ak＝x，ap＝y，ar＝z，則，所以z＝.令y＝2x－1，得z＝xy＝x(2x－1)，此時ak＝x＝2k－1，ap＝y＝2x－1＝2(2k－1)－1，所以p＝2k－1，ar＝z＝(2k－1)(4k－3)＝2(4k2－5k＋2)－1，所以r＝4k2－5k＋2.

綜上所述，當k＝1時，不存在p，r；當k≥2時，存在p＝2k－1，r＝4k2－5k＋2滿足題設．