Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過的定點F為橢圓的一個焦點，且橢圓上的點到焦點F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動弦，且M、N均在橢圓C上，定點T（4，0），直線MF與直線NT交于點S．求證：
    ①點S恒在橢圓C上；
    ②求△MST面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）化直線方程為直線系方程，然后聯立方程組求出定點F的坐標，得到c的值，然后由橢圓上的點到焦點F的最大距離為3得到a+c=3，求出a的值，結合b²=a²-c²可得b得值，則答案可求；
（2）①設出直線MN的方程，求出M和N的坐標，然后寫出MF和NF所在的直線方程，聯立后得到S點的坐標，代入橢圓方程后成立，則問題得到證明．
②設出直線MS的方程，和橢圓方程聯立后化為關于y的一元二次方程，利用根與系數關系得到M，S兩點的縱坐標的和與積，然后代入面積公式，換元后利用“對勾函數”的單調性求得答案．

解答：解：（1）直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0可化為
m（x-2y-1）+3x+y-3=0，
所以

x-2y-1=0 3x+y-3=0

，解得

x=1 y=0

．
所以F（1，0）．則c=1，又a+c=3，所以a=2，則b²=a²-c²=3．
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）①設直線MN的方程為x=s，M的坐標為（s，t），N的坐標為（s，-t）．
且s、t滿足3s²+4t²=12．
MF的直線方程為y=

t

s-1

(x-1)，NT的直線方程為y=

-t

s-4

(x-4)．
聯立解得交點S（

5s-8

2s-5

，

3t

2s-5

），代入橢圓方程3x²+4y²=12得，
3（5s-8）²+36t²=12（2s-5）²，化簡得：3s²+4t²=12．
所以點S恒在橢圓C上；
②直線MS過點F（1，0），設方程為x=my+1，M（x₁，y₁），S（x₂，y₂）．
S△MST=

1

2

×3|y1-y2|=

3

2

(y1+y2)2-4y1y2

．
聯立

x=my+1 3x2+4y2=12

，得（3m²+4）y²+6my-9=0．
y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
所以S△MST=18

m2+1 (3m2+4)2

．
設m²+1=u（u≥1），則

m2+1

(3m2+4)2

=

u

(3u+1)2

=

1

9u+ 1 u +6

．
由對勾函數可知9u+

1

u

在（0，

1

3

）上位減函數，（

1

3

，+∞）上為增函數，
所以9u+

1

u

的最小值為10．
所以S△MST≤18×

1

4

=

9

2

．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了“設而不求”的解題方法，考查了利用函數的單調性求最值，該題綜合性較強，需要學生具有較好的理解能力和計算能力，是難題．