Question

（1）已知α，β都是銳角，sinα=

3

5

，cos（α+β）=

5

13

，求sinβ的值．
（2）若α，β都是銳角，sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，求α+β的值．

Answer 1

分析：（1）由α，β都是銳角，得出α+β的范圍，由sinα和cos（α+β）的值，利用同角三角函數間的基本關系分別求出cosα和sin（α+β）的值，然后把所求式子的角β變為（α+β）-α，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把各自的值代入即即可求出值．
（2）先利用同角三角函數的基本關系和α、β的范圍，求得cosα和cosβ的值，進而利用余弦函數的兩角和公式求得答案．

解答：解：（1）∵α，β都是銳角，∴α+β∈（0，π），
又sinα=

3

5

，cos（α+β）=

5

13

，
∴cosα=

4

5

，sin（α+β）=

12

13

，
則sinβ=sin[（α+β）-α]
=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα
=

12

13

×

4

5

-

5

13

×

3

5

=

33

65

．
（2）：∵α、β為銳角，sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

cosβ=

1-sin2β

=

3 10

10

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

，
α、β為銳角．
∴α+β=

π

4

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，以及兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵，同時注意角度的范圍．