Question

過拋物線C：上的點M分別向C的準線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準線和x軸圍成邊長為4的正方形，點M在第一象限.
（1）求拋物線C的方程及點M的坐標；
（2）過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與拋物線C交于A，B兩點，如果點M在直線AB的上方，求面積的最大值.

Answer 1

（1）y²＝8x，(2，4)；（2）.

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程及其幾何性質、韋達定理、點到直線的距離、三角形面積公式、利用導數求函數的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，由題意結合拋物線圖象得到M點坐標，代入拋物線方程中，解出P的值，從而得到拋物線的標準方程及M點坐標；第二問，設出A，B點坐標，利用M點，分別得到直線MA和直線MB的斜率，因為兩直線傾斜角互補，所以兩直線的斜率相加為0，整理得到y₁＋y₂＝－8，代入到中得到直線AB的斜率，設出直線AB的方程，利用M點在直線AB上方得到b的范圍，令直線與拋物線方程聯立，圖形有2個交點，所以方程的進一步縮小b的范圍，，而用兩點間距離公式轉化，d是M到直線AB的距離，再利用導數求面積的最大值.
（1）拋物線C的準線x＝－，依題意M(4－，4)，
則4²＝2p(4－)，解得p＝4．
故拋物線C的方程為y²＝8x，點M的坐標為(2，4)，    3分
（2）設．
直線MA的斜率，同理直線MB的斜率．
由題設有，整理得y₁＋y₂＝－8．
直線AB的斜率．      6分
設直線AB的方程為y＝－x＋b．
由點M在直線AB的上方得4＞－2＋b，則b＜6．
由得y²＋8y－8b＝0．
由Δ＝64＋32b＞0，得b＞－2．于是－2＜b＜6．    9分
，
于是．
點M到直線AB的距離，則△MAB的面積
．
設f(b)＝(b＋2)(6－b)²，則f¢(b)＝(6－b)(2－3b)．
當時，f¢(x)＞0；當時，f¢(x)＜0．
當時，f(b)最大，從而S取得最大值．    12分