Question

定義：對于任意n∈N^*，滿足條件且a_n≤M（M是與n無關的常數）的無窮數列a_n稱為T數列．
（1）若a_n=-n²+9n（n∈N^*），證明：數列a_n是T數列；
（2）設數列b_n的通項為，且數列b_n是T數列，求常數M的取值范圍；
（3）設數列（n∈N^*，p＞1），問數列b_n是否是T數列？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2，所以數列a_n滿足．由此能夠證明數列a_n是T數列．
（2）因為，所以當即n≤11時，b_n+1-b_n＞0，此時數列b_n單調遞增．當n≥12時，b_n+1-b_n＜0，此時數列b_n單調遞減；故數列b_n的最大項是b₁₂，由此能求出M的取值范圍．
（3）當1＜p≤2時，對于n∈N^*有，所以當時數列c_n是T數列；當2＜p≤3時，數列c_n不是T數列．當p＞3時，數列c_n不是T數列．
解答：解：（1）由a_n=-n²+9n，得a_n+a_n+2-2a_n+1=-n²+9n-（n+2）²+9（n+2）+2（n+1）²-18（n+1）=-2
所以數列a_n滿足．（2分）
又，當n=4或5時，a_n取得最大值20，即a_n≤20．
綜上，數列a_n是T數列．（4分）
（2）因為，
所以當即n≤11時，b_n+1-b_n＞0，此時數列b_n單調遞增（6分）
當n≥12時，b_n+1-b_n＜0，此時數列b_n單調遞減；故數列b_n的最大項是b₁₂，
所以，M的取值范圍是（9分）
（3）①當1＜p≤2時，當n=1時，
由得，
即當時符合條件．（11分）
若n≥2，則，此時
于是
又對于n∈N^*有，
所以當時數列c_n是T數列；（13分）
②當2＜p≤3時，
取n=1則：，
由，所以2＜p≤3時數列c_n不是T數列．（15分）
③當p＞3時，
取n=1則，
由，所以p＞3時數列c_n不是T數列．（17分）
綜上：當時數列c_n是T數列；當時數列c_n不是T數列．（18分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．