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已知
a
=(cosx，-sin2x)，
b
=(6sinx+
3
cosx，
3
)，函數f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調減區間；
（2）若x∈[0，
5π
12
]，求函數f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值時相應的x的值．
分析：（1）利用向量的數量積公式，結合二倍角公式，輔助角公式，化簡函數，周期利用正弦函數的性質，即可求得函數的單調減區間；
（2）由（1）知，f（x）在[0，
π
6
]上單調遞增，在[
π
6
，
5π
12
]上單調遞減，從而可得函數的最值．
解答：解：（1）∵
a
=(cosx，-sin2x)，
b
=(6sinx+
3
cosx，
3
)，
∴函數f(x)=
a
•
b
=3sin2x+
3
cos2x=2
3
sin（2x+
π
6
）（x∈R）
∴T=
2π
2
=π
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
3π
2
+2kπ（k∈Z）
∴
π
6
+kπ≤x≤
2π
3
+kπ
∴函數的單調減區間為[
π
6
+kπ，
2π
3
+kπ]（k∈Z）
（2）由（1）知，f（x）在[0，
π
6
]上單調遞增，在[
π
6
，
5π
12
]上單調遞減
∴x=
π
6
時，f（x）有最大值f（
π
6
）=2
3

∵f（0）=
3
＞f（
5π
12
）=0
∴x=
5π
12
時，函數有最小值f（
5π
12
）=0
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查函數的單調性與最值，正確化簡函數是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數f（x）的最小正周期，并寫出f（x）的減區間；
（2）當x∈[0，
π
2
]時，求函數f（x）的最大值及最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(sinx，cosx)，記f(x)=
a
•
b
，要得到函數y=sin2x-cos2x的圖象，只須將y=f（x）的圖象（　　）
A、向右平移
π
4
個單位
B、向右平移
π
2
個單位
C、向左平移
π
4
個單位
D、向左平移
π
2
個單位

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx+
3
sinx，
3
cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的單調增區間．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2007•深圳二模）已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數f（x）的最大值，并指出此時x的值．

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