Question

當n∈N^*時，Sn=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n與T_n的關系，并用數學歸納法證明．

Answer 1

分析：（I）由已知直接利用n=1，2，求出S₁，S₂，T₁，T₂的值；
（II）利用（1）的結果，直接猜想S_n=T_n，然后利用數學歸納法證明，①驗證n=1時猜想成立；②假設n=k時，S_k=T_k，通過假設證明n=k+1時猜想也成立即可．

解答：解：（I）∵當n∈N^*時，Sn=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

，T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

．
∴S₁=1-

1

2

=

1

2

，S₂=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

=

7

12

，T₁=

1

1+1

=

1

2

，T₂=

1

2+1

+

1

2+2

=

7

12

（2分）
（II）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2n-1

-

1

2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

（n∈N*）（5分）
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，已證S₁=T₁（6分）
②假設n=k時，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2k-1

-

1

2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

（8分）
則：S_k+1=S_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

=T_k+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（10分）
=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

-

1

2(k+1)

（11分）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+（

1

k+1

-

1

2(k+1)

）
=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

=T_k+1，
由①，②可知，對任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）

點評：本題是中檔題，考查數列遞推關系式的應用，數學歸納法證明數列問題的方法，考查邏輯推理能力，計算能力．