Question

已知a＞b，二次三項式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立．又?x₀∈R，使ax02+2x₀+b=0成立，則

a2+b2

a-b

的最小值為（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．2

  2

Answer 1

分析：由條件求得a＞1，ab=1，由此把要求的式子化為

a4+1

a3-a

．化簡(

a4+1

a3-a

)2為

(a2+ 1 a2  -2)2+4(a2+ 1 a2 )-4

(a2+ 1 a2 )-2

，令 a2+

1

a2

=t＞2，則(

a4+1

a3-a

)2=（t-2）+4+

4

t-2

，利用基本不等式求得(

a4+1

a3-a

)2的最小值為8，可得

a4+1

a3-a

的最小值．

解答：解：∵已知a＞b，二次三項式ax²+2x+b≥0對于一切實數x恒成立，
∴a＞0，且△=4-4ab≤0，∴ab≥1．
再由?x₀∈R，使ax02+2x₀+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．
∴

a2+b2

a-b

=

a2+ 1 a2

a- 1 a

=

a4+1

a3-a

＞0．
∴(

a4+1

a3-a

)2=

a8+1+2a4

a6+a2-2a4

=

a4+ 1 a4 +2

a2+ 1 a2 -2

=

(a2+ 1 a2 )2

(a2+ 1 a2 )-2

=

(a2+ 1 a2  -2)2+4(a2+ 1 a2 )-4

(a2+ 1 a2 )-2

．
令 a2+

1

a2

=t＞2，則 (

a4+1

a3-a

)2=

(t-2)2+4(t-2)+4

t-2

=（t-2）+4+

4

t-2

≥4+4=8，
故(

a4+1

a3-a

)2的最小值為8，故

a2+b2

a-b

 的最小值為

8

=2

2

，
故選D．

點評：本題主要考查基本不等式的應用，式子的變形是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．