Question

若函數f(x)=

2x

2x+1

+sinx在區間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n=

1

．

Answer 1

分析：本題要求的是函數最大值與最小值的和，由函數的解析式，可通過研究函數的對稱性來探究解題的思路，故可先求出f（-x），再與函數f(x)=

2x

2x+1

+sinx進行比較，總結規律，再由本題中所求的m+n的值是一個定值，采用特殊值法求出答案

解答：解：因為f(-x)=

2-x

2-x+1

+sin(-x)=

1

1+2x

-sinx
對比f(x)=

2x

2x+1

+sinx得f（x）+f（-x）=1   ①
又本題中f(x)=

2x

2x+1

+sinx在區間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，即無論k取什么樣的正實數都應有最大值與最小值的和是一個確定的值
故可令k=1，由于函數f(x)=

2x

2x+1

+sinx在區間[-k，k]（k＞0）上是一個增函數，故m+n=f（k）+f（-k）
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=1
故答案為1

點評：本題是一個比較隱蔽的函數性成立的問題，解題的關鍵有二，一是意識到m+n是一個定值，再就是根據所給區間[-k，k]（k＞0）關于原點對稱，聯想到研究f（x）+f（-x）的值，這是本題解題的重點，難點是領會到m+n是一個定值，本題考查了推理判斷的能力，比較抽象，題詞后要注意領會本題做題中的經驗技巧．