Question

(本小題滿分12分) (Ⅰ)小問7分，(Ⅱ)小問5分.)

已知O為坐標原點，向量＝(sinα，1)，＝(cosα，0)，＝(－sinα，2)，點P是直線AB上的一點，且點B分有向線段的比為1.

(1)記函數f(α)＝·，α∈，討論函數f(α)的單調性，并求其值域；

(2)若O、P、C三點共線，求|＋|的值．

 

Answer 1

【答案】

 

解：依題意可知，A(sinα，1)，B(cosα，0)，C(－sinα，2)，設點P的坐標為(x，y)，則cosα＝，0＝，所以x＝2cosα－sinα，y＝－1，所以點P的坐標為(2cosα－sinα，－1)．

(1)∵＝(sinα－cosα，1)，＝(2sinα，－1)，

∴f(α)＝·＝2sin²α－2sinαcosα－1＝－(sin2α＋cos2α)＝－sin.

由2α＋∈可知，當2α＋∈即α∈時，函數f(α)單調遞增，當2α＋∈即α∈時，函數f(α)單調遞減，又sin∈，所以函數f(α)的值域為[－，1)．

(2)由O、P、C三點共線可知，－1×(－sinα)＝2×(2cosα－sinα)，∴tanα＝，

∴sin2α＝＝＝，∴|＋|＝＝＝.

 

【解析】略