Question

（2010•崇明縣二模）設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）與雙曲線

x2

3

-

y2

1

=1有相同的焦點F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0），P為橢圓上一點，△PF₁F₂的最大面積等于2

2

．過點N（-3，0）且傾角為30°的直線l交橢圓于A、
B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：點F₁（-c，0）在以線段AB為直徑的圓上；
（3）設E、F是直線l上的不同兩點，以線段EF為直徑的圓過點F₁（-c，0），求|EF|的最小值并求出對應的圓方程．

Answer 1

分析：（1）求出雙曲線

x2

3

-

y2

1

=1的焦點坐標，得到橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距c=2，再根據△PF₁F₂的最大面積求得b值，從而可得所求橢圓方程；
（2）通過方程組

y= 3 3 (x+3) x2 6 + y2 2 =1

，求出圓心的坐標及圓的直徑，得出線段AB為直徑的圓方程，將點F₁（-2，0）代入驗證滿足圓該圓方程，從而得到以線段AB為直徑的圓過定點F₁；
（3）取EF的中點D為圓心，|EF|=2|DF₁|利用線段DF₁的最小值求得|EF|_min=1．通過聯解方程組

y= 3 3 (x+3) 3 (x+2)+y=0

，得到圓心坐標及半徑大小，由此即可寫出|EF|取最小值時相應的圓方程．

解答：解：（1）∵雙曲線

x2

3

-

y2

1

=1的焦點F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）半焦距為：2，
又△PF₁F₂的最大面積等于bc=2b=2

2

，∴b=

2

從而c=2，b=

2

，a=

6

，橢圓方程為：

x2

6

+

y2

2

=1
（2）∵lAB：y=

3

3

(x+3)，∴由

y= 3 3 (x+3) x2 6 + y2 2 =1

消去y，得2x²+6x+3=0
因此，可得圓心坐標為(-

3

2

，

3

2

)，半徑r=

|AB|

2

=

1+ 1 3

•

12

2

=1
∴圓方程為(x+

3

2

)2+(y-

3

2

)2=1
∵點F₁（-2，0）滿足圓方程(x+

3

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
∴以線段AB為直徑的圓過定點F₁
（3）取EF的中點D為圓心，則|EF|=2|DF₁|
∴|EF|達到最小值時，F₁D恰好是點F₁到直線l的距離，
即|DF1|min=

|-2+0+3|

2

=

1

2

，可得|EF|_min=1；
此時，lDF1：

3

(x+2)+y=0，聯立方程

y= 3 3 (x+3) 3 (x+2)+y=0

得圓心為(-

9

4

，

3

4

)，半徑為

1

2

∴|EF|取最小值時，相應的圓方程為(x+

9

4

)2+(y-

3

4

)2=

1

4

點評：本小題主要考查雙曲線及橢圓的方程和幾何性質、圓錐曲線的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、方程思想，屬于中檔題．