Question

已知函數的定義域為，且,，

當，且，時恒成立.

（1）判斷在上的單調性；

（2）解不等式；

（3）若對于所有，恒成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）將賦予，即將轉化為，根據可知，即，根據單調性的定義可得函數在上的單調性。（2）由（1）知在上是單調增函數，根據單調性可得自變量的大小關系，同時自變量應在所給的定義域內，有以上不等式組組成的不等式組可得所求不等式的解集。（3）恒成立即恒成立，用函數的單調性可求其最值。將問題轉化為關于的一元二次不等式恒成立問題，因為，又可將上式看成關于的一次不等式，討論單調性即可得出。

試題解析：【解析】
（1）∵當，且，時恒成立，

∴， ∴ ， 2分

∴時，∴ ，

時，∴ 4分

∴在上是單調增函數 5分

（2）∵在上是單調增函數，且

∴ ， 7分

解得 8分

故所求不等式的解集 9分

（3）∵在上是單調增函數，，

∴， 10分

若對于所有，恒成立，

則，恒成立， 11分

即，恒成立，

令，

要使在恒成立，

則必須，解得，或 13分

則的取值范圍是 14分

考點：1函數單調性的定義；2用單調性求函數的最值。