Question

已知函數f（x）是正比例函數，函數g（x）是反比例函數，且f（1）=1，g（1）=2，
（1）求函數f（x）和g（x）；
（2）設h（x）=f（x）+g（x），判斷函數h（x）的奇偶性；
（3）求函數h（x）在(0，

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax，g（x）=

b

x

，且a，b≠0，由f（1）=1，g（1）=2可求得a，b的值，從而可求函數f（x）和g（x）；
（2）由（1）知h（x）=x+

2

x

，利用奇偶函數的定義即可判斷h（x）的奇偶性；
（3）設0＜x₁＜x₂≤

2

，作差h（x₁）-h（x₂）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，判斷其符號，從而可證函數在（0，

2

]上是減函數，于是可求函數h（x）在(0，

2

]上的最小值．

解答：解：（1）∵函數f（x）是正比例函數，函數g（x）是反比例函數，
∴設f（x）=ax，g（x）=

b

x

，且a，b≠0，
由f（1）=1，g（1）=2，
得：a=1，b=2，故f（x）=x，g（x）=

2

x

．
（2）由（1）得h（x）=x+

2

x

，
∵函數h（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關于原點對稱，
∴h（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-h（x），
∴函數h（x）是奇函數．
（3）設0＜x₁＜x₂≤

2

，
則h（x₁）-h（x₂）=（x₁+

2

x1

）-（x₂+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=（x₁-x₂）（1-

2

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤

2

，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜2，
∴x₁x₂-2＜0，（x₁-x₂）（x₁x₂-2）＞0，
∴h（x₁）＞h（x₂）…11分
故函數在（0，

2

]上是減函數，
∴函數h（x）在（0，

2

]上的最小值是h（

2

）=2

2

．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，考查函數單調性的證明及應用，突出考查定義法證明函數的單調性，考查推理證明及運算能力．