Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝AD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．

(1)求證：BE∥平面PAD；

(2)若BE⊥平面PCD，求平面EBD與平面BDC夾角的余弦值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】設AB＝a，PA＝b，如圖所示，建立空間直角坐標系，則A(0，0，0)，B(a，0，0)，P(0，0，b)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，E .

(1)證明：＝，＝(0，2a，0)，＝(0，0，b)，所以＝＋，又BE?平面PAD，AD?平面PAD，AP?平面PAD，故BE∥平面PAD.

(2)∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即·＝0，

＝(2a，2a，－b)，∴·＝2a2－＝0，即b＝2a.

在平面BDE和平面BDC中，＝(0，a，a)，＝(－a，2a，0)，＝(a，2a，0)，

所以平面BDE的一個法向量為n1＝(2，1，－1)，平面BDC的一個法向量為n2＝(0，0，1)．

cos〈n1，n2〉＝－，所以平面EBD與平面BDC夾角的余弦值為.