Question

已知有窮數列{a_n}共有2k項（整數k≥2），首項a₁=2．設該數列的前n項和為S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（n=1，2，…，2k-1），其中常數a＞1．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若a=2

2

2k-1

，數列{b_n}滿足b_n=

1

n

log2(a1a2…an)（n=1，2，…，2k），求數列{b_n}的通項公式；
（3）若（2）中的數列{b_n}滿足不等式|b₁-

3

2

|+|b₂-

3

2

|+…+|b_2k-1-

3

2

|+|b_2k-

3

2

|≤4，求k的值．

Answer 1

分析：（1）要利用分類討論的思想，分別對n=1時和2≤n≤2k-1時進行討論，進而獲得a_n與a_n+1的關系，故可獲得問題的解答；
（2）首先利用（1）的結論和條件獲得a_n的表達式，然后對a₁a_2…a_n進行化簡，結合對數運算即可獲得數列{b_n}的通項公式；
（3）首先利用分類討論對bn與

3

2

的大小進行判斷，然后對所給不等式去絕對值，即可找到關于k的不等式，進而問題即可獲得解答．

解答：解：由題意：
（1）證明：
當n=1時，a₂=2a，則

a2

a1

=a；
當2≤n≤2k-1時，a_n+1=（a-1）S_n+2，a_n=（a-1）S_n-1+2，
∴a_n+1-a_n=（a-1）a_n，
∴

an+1

an

=a，
∴數列{a_n}是等比數列．
（2）解：由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿ a^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿa

n(n-1)

2

=2n+

n(n-1)

2k-1

，
b_n=

1

n

[n+

n(n-1)

2k-1

]=

n-1

2k-1

+1（n=1，2，2k）．
（3）設b_n≤

3

2

，解得n≤k+

1

2

，又n是正整數，于是當n≤k時，b_n＜

3

2

；
當n≥k+1時，b_n＞

3

2

．
原式=（

3

2

-b₁）+（

3

2

-b₂）+…+（

3

2

-b_k）+（b_k+1-

3

2

）+…+（b_2k-

3

2

）
=（b_k+1+…+b_2k）-（b₁+…+b_k）
=[

1 2 (k+2k-1)k

2k-1

+k]-[

1 2 (0+k-1)k

2k-1

+k]=

k2

2k-1

．
當

k2

2k-1

≤4，得k²-8k+4≤0，4-2

3

≤k≤4+2

3

，又k≥2，
∴當k=2，3，4，5，6，7時，
原不等式成立．

點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、對數運算的知識以及絕對值和解不等式的知識．值得同學們體會和反思．