Question

點A、B分別是以雙曲線

x2

16

-

y2

20

=1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方，

PA

•

PF

=0
（I）求橢圓C的方程；
（II）求點P的坐標；
（III）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（I）求出雙曲線

x2

16

-

y2

20

=1的焦點、頂點，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標準方程．
（Ⅱ）點P的坐標為（x，y），由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

解方程組可得點P的坐標
（Ⅲ）設點M是（m，0）于是

|m+6|

2

=|m-6|，解出m=2，建立橢圓上的點到M的距離d的表達式，用函數知識求最值

解答：解（I）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2

5

，半焦距c₁=

16+20

=6，
∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸b₂=

62-42

=

20

，
∴所求的橢圓方程為

x2

36

+

y2

20

=1
（II）由已知A（-6，0），F（4，0），
設點P的坐標為（x，y），則

AP

=(x+6，y)，

FP

=(x-4，y)，由已知得

x2 36 + y2 20 =1 (x+6)(x-4)+y2=0

則2x²+9x-18=0，解之得x=

3

2

或x=-6，
由于y＞0，所以只能取x=

3

2

，于是y=

5

2

3

，所以點P的坐標為(

3

2

，

5

2

3

)（9分）
（Ⅲ）直線AP：x-

3

y+6=0，設點M是（m，0），則點M到直線AP的距離是

|m+6|

2

，于是

|m+6|

2

=|m-6|，
又∵點M在橢圓的長軸上，即-6≤m≤6∴m=2
∴當m=2時，橢圓上的點到M（2，0）的距離d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-

5x2

9

=

4

9

(x-

9

2

)2+15
又-6≤x≤6∴當x=

9

2

時，d取最小值

15

點評：本題考查圓錐曲線的幾何性質、標準方程、距離求解．考查函數知識、方程思想、計算能力．