Question

如圖，正方體AC₁中，

DF

DD1

=

AE

AA1

=

2

3

，

CG

CC1

=

BH

BB1

=

1

3

，點P為平面EFGH內的一動點，且滿足∠PAA₁=∠C₁AA₁，則點P的軌跡是（　　）

• A、拋物線
• B、圓
• C、橢圓
• D、雙曲線

Answer 1

分析：如圖所示．不妨是正方體的棱長為1．由題意可知：對角線AC₁與平面EFGH的交點為AC₁的中點．由已知滿足∠PAA₁=∠C₁AA₁，可知：tan∠PAA₁=tan∠C₁AA₁=

A1C1

AA1

=

2

．作正方體AC₁的平行于底面ABCD的中截面（線段AA₁的中點是O），可得：中截面內滿足tan∠QAA₁=

2

的點Q的軌跡是圓弧MPN，滿足OQ=OM=ON=OP=

2

2

．則AQ或延長AQ與平面EFGH的交點即為點P的軌跡，其軌跡是橢圓的一部分．

解答：解：如圖所示．不妨是正方體的棱長為1．
由題意可知：對角線AC₁與平面EFGH的交點為AC₁的中點．
由滿足∠PAA₁=∠C₁AA₁，則tan∠PAA₁=tan∠C₁AA₁=

A1C1

AA1

=

2

．
作正方體AC₁的平行于底面ABCD的中截面（線段AA₁的中點是O），在中截面內滿足tan∠QAA₁=

2

的點Q的軌跡是圓弧MPN，
滿足OQ=OM=ON=OP=

2

2

．
則AQ或延長AQ與平面EFGH的交點即為點P的軌跡，其軌跡是橢圓的一部分．
故選：C．

點評：本題考查了圓的定義、橢圓的定義、角相等的應用，屬于難題．