Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業用地中規劃出一個高科技工業園區（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業園區的最大面積．

Answer 1

試題分析：求該高科技工業園區的最大面積，由梯形的面積公式須知PQ,PR,QE的長度，注意到點P在曲線AF上的動點，因此此題可建立直角坐標系求解，故以A為原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系，從而得，而曲線AF是以A為定點，AD為對稱軸的拋物線段，故利用AF求出拋物線的方程，利用EC求出直線EC的方程，設出P點的坐標為，從而得出PQ,PR,PE的長度，由梯形的面積公式，得出工業園區的面積 ，由于是三次函數，需用求導來求最大值，從而解出高科技工業園區的最大面積是.
試題解析：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖，則…（2分）
由題意可設拋物線段所在拋物線的方程為，由得，，
∴AF所在拋物線的方程為，   （5分）
又，∴EC所在直線的方程為，
設，則，   （9分）
∴工業園區的面積，   （12分）
∴令得或（舍去負值）   ，   （13分）
當變化時，和的變化情況可知，當時，取得最大值．
答：該高科技工業園區的最大面積．