Question

下表給出的是某港口在某季節每天幾個時刻的水深．

時刻	0：00	3：00	6：00	9：00	12：00	15：00	18：00	21：00	24：00
水深/m	5.0	8.0	5.0	2.0	5.0	8.0	5.0	2.0	5.0

（1）若該港口的水深y（m）和時刻t（0≤t≤24）的關系可用函數y=Asin（ωt）+b（其中A＞0，ω＞0，b∈R）來近似描述，求A，ω，b的值；
（2）若一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規定至少要有2.5m的安全間隙（船底與海底的距離），試用（1）中的函數關系判斷該船何時能進入港口？

Answer 1

分析：（1）利用已知數據，確定合適的周期、振幅等，即可得出函數解析式；
（2）尋求變量之間的關系，建立不等式，從而可求該船何時能進入港口．

解答：解：（1）由已知數據，易知y=f（t）的周期T=12，振幅A=3，b=5，所以ω=

2π

12

=

π

6

（2）由（1）知y=3sin（

π

6

t）+5（0≤t≤24）；
由該船進出港時，水深應不小于4+2.5=6.5（m），
∴當y≥6.5時，貨船就可以進港，即3sin（

π

6

t）+5≥6.5，
∴sin（

π

6

t）≥0.5，
∵0≤t≤24，∴0≤

π

6

t≤4π
∴

π

6

≤

π

6

t≤

5π

6

，或

13π

6

≤

π

6

t≤

17π

6

，
所以1≤t≤5或13≤t≤17．
故該船可在當日凌晨1：00～5：00和13：00～17：00進入港口．

點評：解具有周期變化現象的實際問題關鍵是能抽象出三角函數模型，解決的步驟是：審題，建模，求解，還原