Question

已知奇函數f（x）=

x+b

x2+a

的定義域為R，f（1）=

1

2

．
（1）求實數a，b的值；
（2）證明函數f（x）在區間（-1，1）上為增函數；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），證明函數g（x）在（-1，1）上有零點．

Answer 1

分析：（1）由于奇函數f（x）=

x+b

x2+a

的定義域為R，故有f（0）=0，再由f（1）=

1

2

，可得實數a、b的值．
（2）由（1）可得f（x）=

x

x2+1

，設-1＜x₁＜x₂＜1，計算f（x₂）-f（x₁）＜0．可得函數f（x）在區間（-1，1）上為增函數．
（3）由于函數g（x）=3^-x-f（x）=3^-x-

x

x2+1

，求得g（-1）g（1）=-

7

12

＜0，可得函數 g（x）在（-1，1）上有零點．

解答：解：（1）由于奇函數f（x）=

x+b

x2+a

的定義域為R，故有f（0）=0，再由f（1）=

1

2

，可得實數a=1，b=0．
（2）由（1）可得f（x）=

x

x2+1

，設-1＜x₁＜x₂＜1，則可得f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1•x2)

(x22+1)(x12+1)

．
由題設可得 x₂-x₁＞0，1-x₁•x₂＞0，∴

(x2-x1)(1-x1•x2)

(x22+1)(x12+1)

＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，故函數f（x）在區間（-1，1）上為增函數．
（3）由于函數g（x）=3^-x-f（x）=3^-x-

x

x2+1

，g（-1）g（1）=（3+

1

2

）（

1

3

-

1

2

）=-

7

12

＜0，
可得函數 g（x）在（-1，1）上有零點．

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的零點的判定定理的應用，屬于基礎題．