Question

（08年岳陽一中二模理）（13分） 對于函數，若存在，使成立，則稱為的不動點。如果函數有且僅有兩個不動點、，且。

（1）試求函數的單調區間；

（2）已知各項不為零的數列滿足，求證：；

（3）設，為數列的前項和，求證：。

Answer 1

解析：（1）設

                ∴     ∴

           由

      又∵    ∴     ∴            

   于是

           由得或；   由得或

           故函數的單調遞增區間為和，

單調減區間為和                       ……4分

（2）由已知可得，     當時，

     兩式相減得

∴或

當時，，若，則這與矛盾

∴     ∴                       ……6分

于是，待證不等式即為。為此，

我們考慮證明不等式令則，

再令，     由知

∴當時，單調遞增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴當時，單調遞增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知                

所以，，即         ……9分

（3）由（2）可知   則

     在中令，并將各式相加得

    

     即                            ……13分