Question

（本小題滿分13分）
已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，，令．
（Ⅰ）寫出的所有可能的值；
（Ⅱ）求的最大值；
（Ⅲ）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）的所有可能的值為：，，，，．（2）的最大值為；（3）.

第一問中，根據(jù)題意可知當(dāng)i=5時(shí)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有
，分別結(jié)算得到的值
第二問中，因?yàn)檫f推關(guān)系可知由，
可設(shè)，則或（，），
那么借助于累加法的思想得到數(shù)列的通項(xiàng)公式
第三問中，由（Ⅱ）可知，如果的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則，可知分析得到結(jié)論。
解:（Ⅰ）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：
（1）此時(shí)；（2）此時(shí)；
（3）此時(shí)；（4）此時(shí)；
（5）此時(shí)；（6）此時(shí)；
所以，的所有可能的值為：，，，，．       ……4分
（Ⅱ）由，
可設(shè)，則或（，），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220224523529.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220221637506.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，且為奇數(shù)，是由
個(gè)1和個(gè)構(gòu)成的數(shù)列
所以
．
則當(dāng)的前項(xiàng)取，后項(xiàng)取時(shí)最大，
此時(shí)．
證明如下：
假設(shè)的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則
的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，其中，
，，．
所以


．
所以的最大值為．                          ……9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，的后項(xiàng)中恰有項(xiàng)取，則，若，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220224726277.png" style="vertical-align:middle;" />是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，而是偶數(shù)，因此不存在數(shù)列，使得．                                       ……13分