Question

在一次國際大型體育運動會上，某運動員報名參加了其中5個項目的比賽．已知該運動員在這5個項目中，每個項目能打破世界紀錄的概率都是0.8，那么在本次運動會上：
（Ⅰ）求該運動員至少能打破3項世界紀錄的概率；
（Ⅱ）若該運動員能打破世界紀錄的項目數為ξ，求ξ的數學期望Eξ（即均值）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于某運動員報名參加了其中5個項目的比賽，且個項目能打破世界紀錄的概率都是0.8，我們分析“該運動員至少能打破3項世界紀錄”這個事件中的所有情況，然后代入等可能性事件概率公式，即可求出該運動員至少能打破3項世界紀錄的概率；
（Ⅱ）由（1）可知，該運動員打破每一項世界紀錄的概率都為0.8，故可得答案．

解答：解：（Ⅰ）依題意，該運動員在每個項目上“能打破世界紀錄”為獨立事件，
并且每個事件發生的概率相同．
設其打破世界紀錄的項目數為隨機變量ξ，
“該運動員至少能打破3項世界紀錄”為事件A，則有（2分）
P（A）=P（ξ=3）+P（ξ=4）+P（ξ=5）（4分）
=C₅³0.8³×0.2²+C₅⁴0.8⁴×0.2+C₅⁵0.8⁵（6分）
=0.94208．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知，ξ～B（5，0.8），故所求數學期望為
Eξ=5×0.8=4．（12分）

點評：本題考查的要點有：①互斥事件的概率加法公式②等可能性事件數學期望．