Question

如圖所示，點P在圓O：x²+y²=4上，PD⊥x軸，點M在射線DP上，且滿足

DM

=λ

DP

（λ≠0）．
（Ⅰ）當點P在圓O上運動時，求點M的軌跡C的方程，并根據λ取值說明軌跡C的形狀．
（Ⅱ）設軌跡C與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，直線2x-3y=0與軌跡C交于點E、F，點G在直線AB上，滿足

EG

=6

GF

，求實數λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

DM

=λ

DP

和PD⊥x軸，確定M，P坐標之間的關系，代入圓方程得：

x2

4

+

y2

4λ2

=1，對λ討論，即可得到結論；
（Ⅱ）由題設知A（2，0），B（0，2λ），E，F關于原點對稱，可設E，F，G的坐標，利用

EG

=6

GF

，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y）、P（x₀，y₀），由于

DM

=λ

DP

和PD⊥x軸，所以

x=x0 y=λy0

，∴

x0=x y0= y λ

代入圓方程得：

x2

4

+

y2

4λ2

=1--------------（2分）
當0＜λ＜1時，軌跡C表示焦點在x軸上的橢圓；
當λ=1時軌跡C就是圓O；
當λ＞1時軌跡C表示焦點是y軸上的橢圓．
（Ⅱ）由題設知A（2，0），B（0，2λ），E，F關于原點對稱，所以設E(x1，

2

3

x1)，F(-x1，-

2

3

x1)，G（x₀，y₀），不妨設x₁＞0---------------（6分）
直線AB的方程為：

x

2

+

y

2λ

=1，把點G坐標代入得y₀=2λ-λx₀
又點E在軌跡C上，則有

x 2 1

4

+

x 2 1

9λ2

=1，∴x1=

6λ

9λ2+4

∵

EG

=6

GF

，∴x₀-x₁=6（-x₁-x₀），∴x0=-

5

7

x1
∵y₀-

2

3

x₁=6（-

2

3

x₁-y₀），∴x1=

-42λ

10+15λ

，
∴x1=

-42λ

10+15λ

=

6λ

9λ2+4

，∴18λ²-25λ+8=0，∴λ=

1

2

或λ=

8

9

．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，利用向量確定坐標之間的關系是關鍵．