Question

把正奇數列{2n-1}中的數按上小下大，左小右大的原則排列成如圖“三角形”所示的數表。設是位于這個三角形數表中從上往下數第行，從左向右數第個數。

（1）若，求m，n的值；
（2）已知函數的反函數為，若記三角形數表中從上往下數第n行各數的和為。
①求數列的前n項的和。
②令，設的前n項之積為，求證：。

Answer 1

解：（1）∵，
∴2009是正奇數列的第1005個數。
前m-1行共有個數，
前m行共有個數。
∴，解得m=45，
前44行共有個數，故n=15。
（2）①由，得，
∵第n行第1個數為，
∴，
∴，
∴，
，
兩式相減，得，
∴。
②，
∴，
即證：，
先證，
1°當n=1時，顯然成立；
2°假設n=k時，，
則當n=k+1時，


，
即當n=k+1時，結論成立。
由1°，2°知，成立，
從而
      ，
即 得證。