Question

設函數f（x）=lg

1+2x+4xa

3

(a∈R)．
（Ⅰ）當a=-2時，求f（x）的定義域；
（Ⅱ）如果x∈（-∞，-1）時，f（x）有意義，試確定a的取值范圍； 
（Ⅲ）如果0＜a＜1，求證：當x≠0時，有2f（x）＜f（2x）．

Answer 1

分析：（1）當a=-2時，由對數的真數大于0，解不等式

1+2x-2•4x

3

＞0得2^x＜1，從而得到f（x）的定義域為（-∞，0）；
（2）根據題意，

1+2x+a•4x

3

＞0在（-∞，-1）上成立．變量分離，得a＞-

1+2x

4x

在（-∞，-1）上成立，再討論不等式右邊式子的取值范圍，即可得到實數a的取值范圍； 
（3）將式子2f（x）與f（2x）作差，化簡整理得2f（x）-f（2x）=lg

(1+2x+a•4x)2

3(1+22x+a•42x)

，再令t=2^x，以t為單位將真數的分子與分母的差進行放縮，可得2f（x）-f（2x）＜lg1=0，從而證出當x≠0時，有2f（x）＜f（2x）．

解答：解：（1）當a=-2時，f（x）=lg

1+2x-2•4x

3

令

1+2x-2•4x

3

＞0，即1+2^x-2•4^x＞0，整理得（2^x-1）（2•2^x+1）＜0
解這個不等式，得-

1

2

＜2^x＜1，結合2^x＞0，得2^x∈（0，1）
∴x＜0，得f（x）的定義域為（-∞，0）
（2）當x∈（-∞，-1）時，f（x）有意義，即

1+2x+a•4x

3

＞0在（-∞，-1）上成立，
等價于1+2^x+4^xa＞0在（-∞，-1）上成立，得a＞-

1+2x

4x

在（-∞，-1）上成立，
令g（x）=-

1+2x

4x

，得g'（x）=

(4xln4)(1+2x)-(2xln2)•4x

42x

=

ln2(2+2x)

4x

＞0，（x＜-1）
∴g（x）在（-∞，-1）上為增函數，得g（x）＜g（-1）=-6，
由此可得：a＞-6，即若x∈（-∞，-1）時f（x）有意義，a的取值范圍為（-6，+∞）；
（3）當0＜a＜1且x≠0時，2f（x）-f（2x）=2lg

1+2x+a•4x

3

-lg

1+22x+a•42x

3

=lg

(1+2x+a•4x)2

3(1+22x+a•42x)

，
設2^x=t，因為x≠0，所以t≠1，則（1+2^x+a•4^x）²-3（1+2^2x+a•4^2x）=t⁴（a²-3a）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）
∵t⁴（a²-3a）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）＜t⁴（a²-3a²）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）
而t⁴（a²-3a²）+2at³+t²（2a-2）+2（t-1）=-（at-1）²t²-（at²-1）²-（t-1）²＜0
∴0＜

(1+2x+a•4x)2

3(1+22x+a•42x)

＜1，得2f（x）-f（2x）＜0，
綜上所述，可得當0＜a＜1且x≠0時，2f（x）＜f（2x）．

點評：本題給出含有指數、對數形式的基本初等函數，討論函數的定義域和值域并證明不等式成立，著重考查了指數、對數函數等基本初等函數的圖象與性質、不等式恒成立的處理等知識，屬于中檔題．