Question

（2013•泰安二模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

 =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P（x₁，y₁）是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=4，橢圓的離心率e=

1

2

（I）求橢圓E的標準方程；
（II）直線PF₁交橢圓E于另一點Q（x₁，y₂），橢圓右頂點為A，若

AP

•

AQ

=3，求直線PF₁的方程；
（III）過點M（

1

4

x1，0）作直線PF₁的垂線，垂足為N，當x₁變化時，線段PN的長度是否為定值？若是，請寫出這個定值，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓定義得到2a=4，求得a=2，再由離心率求出c，結合b²=a²-c²求出b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）經分析可知直線PF₁的斜率存在切不等于0，設出直線方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系求出x₁+x₂，x₁x₂，代入

AP

•

AQ

=3整理求得k的值，則直線PF₁的方程可求；
（Ⅲ）分PF₁的斜率存在和不存在兩種情況討論，斜率不存在時直接求線段PN的長度，斜率存在時，用兩點式求出PF₁的斜率并寫出直線方程，由點到直線的距離公式寫出MN的長度，平方后轉化為含x₁的表達式，求出|PM|²由勾股定理得到|PN|²，則|PN|可求．

解答：解：（Ⅰ）由|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，所以a=2，
又e=

c

a

=

1

2

，則c=1，所以b²=a²-c²=4-1=3．
所以所求的橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由橢圓方程知F₁（-1，0），A（2，0）．
當PF₁與x軸垂直時，直線方程為x=-1，代入橢圓方程解得P(-1，

3

2

)，Q(-1，-

3

2

)．

AP

•

AQ

=(-3，

3

2

)•(-3，-

3

2

)=

27

4

≠3．
所以直線PF₁的斜率存在且不為0，設斜率為k，
則直線PF₁的方程為y=k（x+1）．
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0．
x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
由

AP

•

AQ

=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=3，
得x1x2-2(x1+x2)+4+k2(x1+1)(x2+1)
=(k2+1)x1x2+(k2-2)(x1+x2)+k2+4=3
所以(k2+1)•

4k2-12

3+4k2

+(k2-2)•

-8k2

3+4k2

+k2+4
=

-4k4+8k2-12+4k4+19k2+12

3+4k2

=

27k2

3+4k2

=3．
即9k²=3+4k²，所以k=±

15

15

．
所以直線PF₁的方程為y=±

15

15

(x+1)；
（Ⅲ）PN的長度為定值

3

2

．
當PF₁的斜率不存在時，即x₁=-1時，F₁與N重合，此時|PN|=

3

2

．
當PF₁的斜率存在時，即x₁≠-1時，斜率k=

y1

x1+1

．
故直線PF₁的方程為y=

y1

x1+1

(x+1)，即y₁x-（x₁+1）y+y₁=0．
又M（

1

4

x1，0），所以|MN|=

| x1y1 4 +y1|

y12+(x1+1)2

又

x12

4

+

y12

3

=1，所以y12=3-

3

4

x12，
從而|MN|²=

(3- 3 4 x12)( x1 4 +1)2

3- 3 4 x12+(x1+1)2

=

(3- 3 4 x12)( x1 4 +1)2

1 4 x12+2x1+4

=

(3- 3 4 x12)( x1 4 +1)2

4( x1 4 +1)2

=

3

4

-

3

16

x12．
又|PM|²=

9

16

x12+y12=

9

16

x12+3-

3

4

x12=3-

3

16

x12，
所以|PN|²=|PM|²-|MN|²=3-

3

4

，所以|PN|=

3

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了平面向量數量積的運算，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，考查了學生的計算能力，是難題．