Question

（2009•成都模擬）設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點分別是F₁、F₂，過點F₂的直線交雙曲線右支于不同的兩點M、N，若△MNF₁為正三角形，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  6

• B．

  2

• C．

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：根據題中所給條件可知M，N關于x軸對稱，|NF2| =

b2

a

，|F₁F₂|=2c，根據△MNF₁為正三角形，|NF1|2 =

b4

a2

+4c2=|MN|2=

4b4

a2

，由此可以求出該雙曲線的離心率．

解答：解：由題意可知，M，N關于x軸對稱，
∴|NF2| =

b2

a

，
∵|F₁F₂|=2c，
∴|NF1|2 =

b4

a2

+4c2=|MN|2=

4b4

a2

，
∴

b4

a2

+4c2=

4b4

a2

∴4c2=

3b4

a2

∴4a²c²=3b⁴
∴4a²c²═3（a²-c²）²，
∴3e⁴-10e²+3=0，
解得e=

3

或e=

3

3

∵e＞1
∴e=

3

故選C．

點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的離心率，關鍵是找出幾何量之間的關系，解題時要注意雙曲線的離心率要大于1．