Question

已知定義在R上的函數f（x），滿足條件：①f（x）+f（-x）=2，②對非零實數x，都有2f(x)+f(

1

x

)=2x+

1

x

+3．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g(x)=

f2(x)-2x

  (x≥0)，直線y=

2

 n-x與函數y=g（x）交于A_n，又B_n為A_n關于直線y=x的對稱點，（其中n∈N^*），求|A_nB_n|；
（3）設a_n=|A_nB_n|，S_n為數列{a_n}的前n項和，求證：當n≥2時，Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．

Answer 1

分析：（1）當x≠0時，由2f(x)+f(

1

x

)=2x+

1

x

+3，可得2f(

1

x

)+f(x)=

2

x

+x+3，兩式聯立，即可得函數f（x）的解析式；
（2）由（1）得g(x)=

x2+1

，直線y=

2

 n-x與函數y=g（x）聯立，求出A_n、B_n的坐標，從而可求|A_nB_n|；
（3）由（2）知an=|AnBn|=

1

n

，利用Sn-

1

n

=Sn-1，可得當n≥2時，Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n2

，累加得：Sn2=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)，從而可證結論．

解答：解：（1）當x≠0時，2f(x)+f(

1

x

)=2x+

1

x

+3，故 2f(

1

x

)+f(x)=

2

x

+x+3
兩式聯立可得，f（x）=x+1（x≠0）
又當x=0時，有f（0）=1，∴f（x）=x+1；
（2）由（1）得g(x)=

x2+1

，直線y=

2

 n-x與函數y=g（x）聯立可得

y= 2 n-x g(x)= x2+1

，
∴An(

2n2-1

2 2 n

，

2n2+1

2 2 n

)
由此可得Bn(

2n2+1

2 2 n

，

2n2-1

2 2 n

)
所以，|AnBn|=

( 2n2-1 2 2 n - 2n2+1 2 2 n )2+( 2n2+1 2 2 n - 2n2-1 2 2 n )2

=

1

n

（3）由（2）知an=|AnBn|=

1

n

，
∵Sn-

1

n

=Sn-1，∴Sn-12=Sn2-

2Sn

n

+

1

n2

，
∴當n≥2時，Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n2

，Sn-12-Sn-22=

2Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，…，S22-S12=

2S2

2

-

1

22

累加得：Sn2=2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)+1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
又∵1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＞1-[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]=1-(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)=

1

n

＞0
∴Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)．

點評：本題考查函數的解析式，考查兩點間的距離，考查不等式的證明，解題的關鍵是確定點的坐標，疊加法研究數列的和．